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回答
固定資産税は1月1日現在の所有者に1年分請求行きますので、ハウスメーカーがすでに支払いをしています。
(4回に分けているにしても、残りを支払う義務があるのはハウスメーカー)
軽減措置は1月1日現在で建築中又は建築予定の土地には適用されません。
(建て替えは特例措置があるが、前年度の所有者による建替が条件になっているのが一般的で、業者が買い取って建てている土地では適用されないのが普通。自治体が決めているので、その土地の市役所などに問い合わせるのが正確)
尚、残りの日数分を日割りで購入者が前の所有者へ支払うのは慣例ではありますが、法的な義務ではありません。