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転入届に書く新しい住所は賃貸契約書に記載されてある
住所を書けば良いのでしょうか？
回答
その通りです。そのまま書きましょう。
確認作業はありますので、今あなたが持っている運転免許証などの本人確認書類が必要です。あと印鑑も必要な場合があります。
その他、引っ越しにともなう作業としては、次のとおりです。
・郵便局への転居届
・電気、ガス、水道、電話契約の住所変更
・預貯金の通帳、保険の住所変更
・運転免許証の住所変更
くわしくは、これを参考にしてみたらいいと思います。
https://www.hikkoshi-line.com/navi/decision/to-do.html